mercredi 29 janvier 2014

[Problème ouvert : Pólya] un carré inscrit dans un triangle

Soit un triangle
de dimensions 13 ; 14 et 15.

1º) Explique pourquoi il existe un carré inscrit dans ce triangle, tel qu'un côté de ce carré soit inclus dans le côté de longueur 14 et tel que les deux autres sommets soient "sur" les autres côtés du triangle.

2º) Construis ce carré (avec précision).
  
3º) Calcule la longueur (exacte) du côté de ce carré.

4º)  Yves C. propose une généralisation : en supposant maintenant que les côtés du triangle sont trois nombres : a ; b ; c, donnés, mais quelconques, il y a trois solutions pour le carré, en fonction du côté lu triangle qui porte le côté du carré.

Quelle est la solution qui donne la plus grande aire ?

Le plus grand côté, le plus petit, le moyen, ça dépend de la forme (acutangle ou obtusangle) ?

Pour le triangle rectangle c'est le plus grand côté, mais c'est dur à prouver dans les autres cas.

(N'hésite pas à poser des questions dans les commentaires :)...
Des indications pour résoudre ce problème y seront publiées).


Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).

7 commentaires:

  1. George Pólya, dans son livre "Comment poser et résoudre un problème", propose le questionnement suivant pour les deux premières questions, entre un professeur et un élève :

    1) Quelle est l'inconnue ?
    Un carré.

    2) Quelles sont les données ?
    Un triangle est donné et rien d'autre.

    3) Quelle est la condition ?
    Les 4 sommets du carré doivent être sur les côtés du triangle, deux sommets sur la base et un sommet sur chacun des autres côtés.

    4) Est-il possible de satisfaire la condition ?
    (...).

    5) Tu vois, la condition concerne tous les sommets du carré. Combien y a-t-il de sommets ?
    Quatre.

    6) Une partie de la condition concernerait moins de quatre sommets. Ne conserve qu'une partie de la condition, abandonne l'autre partie. Quelle partie de la condition est-il facile de satisfaire ?
    C'est facile de construire un carré avec deux sommets sur deux côtés d'un triangle - ou même un carré avec trois sommets sur deux côtés d'un triangle !

    7) Fais une figure ! Tu as gardé une partie de la condition et tu as abandonné l'autre partie. Comment est déterminée l'inconnue ?
    Le carré n'est pas déterminé s'il a seulement trois sommets sur deux côtés du triangle.

    8) Bien ! Fais un autre carré sur la même figure. Le carré, comme tu l'as dit, n'est pas déterminé par la partie de la condition que tu as gardé. Comment peut-il varier ?
    Trois sommets du carré sont sur deux côtés du carré, mais le quatrième sommet n'est pas là où il doit être.

    9) Ton carré, comme tu l'as dit, n'est pas déterminé, il peut varier ; C'est aussi vrai du quatrième sommet. Comment peut-il varier ?

    10) Essaie expérimentalement, si tu le souhaites. Dessine davantage de carrés avec trois sommets sur deux côtés du triangle, de même que tu l'as déjà fait deux fois. Dessine de petits carrés et de grands carrés. Quel semble être le lieu parcouru par le quatrième sommet ? Comment peut-il varier ?

    Le professeur a amené l'élève très près de l'idée de la solution. Si l'élève est capable de deviner que le lieu du quatrième sommet est une droite, alors il a compris la solution.

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  2. Des professeurs de l'IREM de Lyon ont proposé ce problème à leurs élèves de 4ème en ZEP, et on publié des solutions en bas de cette page :

    http://irem-fpb.univ-lyon1.fr/feuillesprobleme/feuille10/dansnosclasses/articleDemoz.htm

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  3. Une superbe solution de R. D. :
    http://rdassonval.free.fr/flash/carredanstriangle.swf

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  4. Roland D. propose une piste pour la 4ème question :

    Une solution pour chacun des côtés du triangle ABC, oui :
    Le côté x du carré inscrit est la quatrième proportionnelle de a+b; a; b : x=ab/(a+b). Peut-être une piste pour répondre aux questions du 4º) ?

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  5. Roland généralise sa solution précédente :
    --- Citation ---
    Je profite de l'occasion pour signaler une autre solution que je viens de mettre en test :
    http://rdassonval.free.fr/flash/carredanstriangle2.swf
    Une occasion de "construire" une quatrième proportionnelle.
    Bonne journée.
    --- Fin de citation ---

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  6. Christophe a rédigé la solution la plus simple :

    --- Citation ---
    Voici une troisième façon d'obtenir le carré cherché :

    ABC est un triangle quelconque et M un point sur [BC].

    La perpendiculaire à (BC) passant par M coupe (AB) en P et on construit alors le carré MNOP (à l'intérieur du triangle ABC).

    La demi-droite [BO) coupe le côté [AC] en F. La parallèle à (BC) passant par F coupe [AB] en G et les perpendiculaires à (BC) passant par F et G coupent [BC] respectivement en E et F.

    Il est alors assez simple de montrer que DEFG est un rectangle.

    Ensuite, avec le théorème de Thalès appliqué dans les triangles BFG et BEF, on montre que FG = EF.

    On a donc DEFG qui est un carré.

    --- Fin de citation ---

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    1. Roland D. a programmé en Flash la troisième solution, du commentaire précédent :

      http://rdassonval.free.fr/flash/carredanstriangle3.swf

      Merci à tous ;-)

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