mardi 11 février 2014

[Problème ouvert : Pólya] un triangle donné par angle, hauteur et périmètre

George Pólya : "How to solve it"

Cher lecteur,

je me permets de te tutoyer, car je vouvoie très rarement mes interlocuteurs.

Aujourd'hui je te propose de chercher un problème ouvert, (c'est-à-dire : dont la solution n'est pas facile à trouver).

Son énoncé est compréhensible en 6ème (en choisisant des valeurs particulières) mais son niveau est difficile (de la 3ème à la Terminale Scientifique) et il suppose plusieurs heures de recherche par essais-erreurs.

Énoncé du problème : construis un triangle, étant donnés la mesure d'un angle, la hauteur issue du sommet de cet angle et le périmètre du triangle.

Amicalement,
-- 
Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).


Quelques pistes (de George Pólya) :

1) On introduit des notations : soit α la mesure de l'angle A donné, la hauteur donnée issue de A et le périmètre donné. On dessine une figure dans laquelle nous plaçons α et h.

2) Avons-nous utilisé toutes les données ? Non, notre figure ne contient pas la longueur donnée p, égale au périmètre du triangle. Donc nous devons introduire p, mais comment ? On essaie de le faire de plusieurs manières. La première façon est maladroite. Pourquoi ? Car nous percevons qu'elle manque d'une certaine symétrie. Nous préférons donc la deuxième figure, plus symétrique.

3) En fait, le triangle a 3 inconnues : les longueurs des 3 côtés : a, b et c. On appelle a, comme d'habitude, la longueur du côté opposé à A. On sait que :  a + b + c = p.

4) Les côtés b et c jouent le même rôle, ils sont interchangeables. Notre problème est symétrique concernant b et c. Il ne l'aurait pas été si on avait fait une figure non "symétrique". On ajoute le segment [CD] de longueur b d'un côté et le segment [BF] de l'autre côté de longueur c, de manière que p apparaisse comme le segment [DF]  de longueur : b + a + c = p.

5) Si nous avons un peu d'expérience dans la résolution de problèmes de construction, nous ne manquerons pas d'introduire, en plus de [DF], les segments auxiliaires [AD] et [AF], qui sont chacun les bases de deux triangles isocèles. En fait, ce n'est pas déraisonnable d'introduire des éléments dans le problème qui sont particulièrement simples et familiers, comme des triangles isocèles.

6) Nous avons eu de la chance d'introduire nos segments auxiliaires. En examinant la figure, nous pouvons découvrir que l'angle EAD a une relation simple avec l'angle α. En fait, on trouve, en utilisant les triangles isocèles ABF et ACD que :
l'angle DAF vaut : α / 2 + 90º.

7) Après cette remarque, il est naturel d'essayer la construction de l'angle DAF. En essayant cette construction, nous introduisons un problème auxiliaire qui est bien plus facile que le problème de départ.

8) Les enseignants et auteurs de manuels ne devraient pas oublier que l'élève intelligent et LE LECTEUR INTELLIGENT ne sont pas satisfaits de vérifier les étapes d'un raisonnement correct, mais ils veulent également savoir les motivations et le but des différentes étapes.

L'introduction d'un élément auxiliaire est une étape suspicieuse. Si un élément auxiliaire apparaît abruptement dans une figure, sans aucune motivation, et résout le problème de manière surprenante, les élèves ou les lecteurs intelligents sont déçus, ils ont l'impression qu'ils ont été arnaqués.

Les mathématiques sont intéressantes à partir du moment où elles occupent notre raisonnement et nos facultés d'invention. Mais il n'y a rien à apprendre si la motivation et le but de l'étape la plus douteuse reste incompréhensible.

Rendre de telles étapes compréhensibles, par des remarques adéquates ou en posant des questions ou des suggestions soigneusement choisies, cela prend beaucoup de temps et d'efforts, mais cela peut en valoir la peine.

George Pólya ("How to solve it")

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