dimanche 14 décembre 2014

[Problème ouvert : Pólya] Cercle tangent à deux droites parallèles passant par un point donné

George Pólya : "Mathematical discovery"

Cher lecteur,

voici un nouveau problème ouvert (6ème) :

Étant donnés deux droites parallèles et un point entre elles, construis un cercle tangent aux deux droites passant par le point.
-- 

Mathieu Morinière.


Indications (de George Pólya) :

1º) En observant la figure, on peut remarquer que nous pouvons facilement résoudre une partie du problème : la distance entre les deux parallèles est clairement le diamètre du cercle cherché et la moitié de cette distance est son rayon.

2º) On réduit le problème à chercher le centre X du cercle inconnu. Connaissant le rayon, appelons-le r, on partage la contrainte comme suit :

Premièrement, X est à la distance r du point donné.
Deuxièmement, X est à la distance r des deux droites.

3º) La première partie de la contrainte implique un cercle, la deuxième partie implique une droite parallèle à mi-chemin entre les deux droites données.

4º) Si on ne connaissait pas le rayon du cercle cherché, on aurait séparé la contrainte ainsi :

Premièrement, X est à la même distance du point donné et de la première droite.
Deuxièmement, X est à la même distance du point donné et de la deuxième droite.

Partager la contrainte en ces deux parties est logiquement irréprochable mais néanmoins inutile : les lieux correspondants sont des paraboles ; on ne peut pas les dessiner à la règle et au compas - les lieux cherchés sont en général des cercles ou des droites.

Cet exemple peut contribuer à mieux comprendre les motifs que l'on retrouve dans la recherche de deux lieux. Ces motifs peuvent aider dans de nombreux cas, mais pas dans tous, comme le montrent des exemples appropriés.

George Pólya ("Mathematical discovery")

3 commentaires:

  1. Je prends ...
    Vraiment intéressant et dans l'axe de ce que je fais (ou veux faire) au collège
    et en particulier avec les sixièmes.

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    1. Bonsoir Luc,
      c'est un plaisir de te retrouver :)

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  2. Merci Luc de ton retour, je continuerai à publier des extraits de livres de George Pólya, donc tu devrais trouver ici ton bonheur.

    Amicalement,
    --
    Mateo.

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